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* 1계상미분방정식이 선형(linear)일 필요충분조건 - 1계상미분방정식을 의 모양으로 나타낼 수 있는 경우 이 방정식은 선형이다. (단, ,는 에 대한 식이다.) - 위의 명제의 역도 참이다. (필요충분조건!) - 쉽고 정확한 개념 (a) 선형상미분방정식 : 에 대해 의 항 + 에 대한 상수항으로만 나타낼 수 있는 상미분방정식 (b) 1계상미분방정식에서는 의 항 + 에 대한 상수항으로만 나타낼 수 있으면 선형! ※ 만약 앞에 1이 아닌 계수가 붙어있다면 양변을 나누는 것으로 없애주자. 이를 '표준형태로의 변환'이라 한다. 표준형태가 선형이면 원래 식도 선형일 것이다. Ex1. 다음 1계상미분방정식들은 선형인가?(1) (2) (3) Sol. (1) 방정식의 양 변을 로 나누어 표준형태로 바꾸어주면 가 ..

수학공부/미분방정식 2013. 8. 3. 15:39

*적분인자 구하기(공식 암기 必須!!) - 다시보기 : 1계상미분방정식 가 완전미분방정식일 조건은 - 해법 Step 1 : 상미분방정식 에 곱하여져 완전미분방정식으로 만드는 적분인자를 라 하면 는 완전미분방정식이 되어야 하므로 가 성립해야 한다. 이 식을 곱의 미분법을 이용해 풀어보면 가 된다. 식 를 만족하는 적당한 는 적분인자이다. - 해법 Step 2 : 식 는 적당한 를 찾아내기에는 너무 복잡하다. 이 문제점을 해결하기 위해 가 오직 에만 관련된 함수라 가정해보자. 그러면이 되므로 식 는로 단순화시킬 수 있다. 식 의 양변을 로 나누고 정리하면 가 되어 와 만 알면 구할 수 있는 답이 나오게 된다. * 위의 해법과는 반대로 가 에만 관련된 함수라 가정하면 라는 적분인자가 나온다. 둘 중에 편한 식..

수학공부/미분방정식 2013. 4. 27. 14:18

* 적분인자 - 1계상미분방정식의 일반적인 풀이를 위한 도구  - 정의 : 완전상미분방정식이 아닌 어떤 상미분방정식 의 양변에 곱하여              완전상미분방정식의 꼴이 되도록 바꾸어 주는 , 에 대한 함수. 보통 라는 이름을 붙인다.  - 쉬운말로 하면? : 상미분방정식 이 완전상미분방정식이 아닐때                            가 완전상미분방정식이 되도록 하는 함수   - 주의! : 적분인자는 유일하지 않다. 여러 개가 존재할 수 있다.Ex1. 이 상미분방정식 의 적분인자임을 증명하시오.Sol. 상미분방정식 에서 , 라 하면      에서 가 완전상미분방정식이 아님을 알 수 있다.         의 양변에 를 곱하면 이 되고,        이므로 는 완전상미분방정식이 된다..

수학공부/미분방정식 2013. 4. 21. 16:53

* 완전상미분방정식의 정의  - 완전상미분방정식의 정의 : 1계상미분방정식 이   어떤 함수 에 대하여 의 꼴을 만족할 때   는 완전하다고 하며, 미분방정식 는 완전미분방정식이라 한다.  -쉽게 판별하는 법 : 에서 라면 주어진 식은 완전하다.Ex1. 1계상미분방정식 은 완전상미분방정식인가?Sol. 에서       이고이므로       이 성립한다. 따라서 1계상미분방정식 은 완전상미분방정식이다.* 완전상미분방정식()인 1계상미분방정식의 풀이  - 해법 : 인 함수 를 정의하면 다음 두 식이 성립한다.            ,             를 에 대해 적분하면                         (가)를 에 대해 미분하면 이다.             (나)를 잘 정리하여 를 구한 후  를..

수학공부/미분방정식 2013. 4. 20. 14:26

* 를 로 치환하여 푸는 1계상미분방정식  - 언제 사용할까? : 같은 분수 꼴이 유난히 많이 보일 때 혹은 항이 존재할 때.  - 해법 : 로 치환하면 임을 이용한다.Ex1. 미분방정식 의 해를 구하시오.Sol. 방정식의 양변을 로 나누면 가 된다.         로 정의되는 변수 에 대해 방정식을 정리하면 가 되고 이를 다시 정리하면 이 된다.   ,   이므로 답은 이다.

수학공부/미분방정식 2013. 4. 15. 17:56

※들어가기에 앞서...1계상미분방정식의 풀이는 미분방정식의 일반적인 풀이를 위해 반드시 짚고 넘어가야 할 부분이다.마치 고1때는 2차함수를, 고2때는 고차함수, 삼각함수를 배우는 것과 마찬가지 이치이다. 따라서 1계상미분방정식을'풀 수 있다!'에서 끝나는 것이 아니라 이 풀이가 고계상미분방정식에서도 유효하게 쓰인다는 것을 이해하는 것이 중요하다.* 꼴로 나타낼수있는 1계상미분방정식 (단 는 에만 관련된 식, 도 마찬가지!)  - 언제 사용할까? : 과 의 식이 서로 곱해진 항이 단 하나라도 존재할 때!  - 해법 : 임을 이용한다.  - 풀이 : 의 꼴로 바꾼 방정식의 양변을 에 대해 적분하면  이 된다.  이 때, 이므로 이다.  따라서 주어진 방정식은 으로 풀 수 있게 된다.Ex1. 미분방정식 의 해..

수학공부/미분방정식 2013. 4. 14. 15:33

1. 상미분방정식과 편미분방정식  -상미분방정식 : 미지함수 y에 대한 변수가 하나인 미분방정식.(영어로는 ODE ; Ordinary Differential Equation)  -편미분방정식 : 미지함수 y에 대한 변수가 둘 이상인 미분방정식.(영어로는 PDE ; Partial Differential Equation)2. n계상미분방정식  -1계상미분방정식 : 미지함수의 최고계 도함수가 1계인 상미분방정식.(영어로는 1st-Order)  -n계상미분방정식 : 미지함수의 최고계 도함수가 n계인 상미분방정식.(영어로는 Nth-Order)3. 선형상미분방정식과 비선형상미분방정식  -선형상미분방정식 :  로 나타낼 수 있는 상미분방정식. (영어로는 Linear)(쉬운 말 : y의 k계 도함수가 서로 독립적인 항..

수학공부/미분방정식 2013. 4. 13. 15:46