6. 1계상미분방정식의 풀이 (6) - 선형상미분방정식의 개념

* 1계상미분방정식이 선형(linear)일 필요충분조건

- 1계상미분방정식을 의 모양으로 나타낼 수 있는 경우 이 방정식은 선형이다.

   (단, ,는 에 대한 식이다.)

- 위의 명제의 역도 참이다. (필요충분조건!)

- 쉽고 정확한 개념 

  (a) 선형상미분방정식 : 에 대해  의 항 + 에 대한 상수항으로만 나타낼 수 있는 상미분방정식

  (b) 1계상미분방정식에서는 의 항 + 에 대한 상수항으로만 나타낼 수 있으면 선형!

※ 만약 앞에 1이 아닌 계수가 붙어있다면 양변을 나누는 것으로 없애주자. 이를 '표준형태로의 변환'이라 한다.

    표준형태가 선형이면 원래 식도 선형일 것이다.

Ex1. 다음 1계상미분방정식들은 선형인가?

(1) 

(2) 

(3) 

Sol. 

(1) 방정식의 양 변을 로 나누어 표준형태로 바꾸어주면 가 된다.

      이 때 , 가 에 대한 식이므로 는 선형이 되고 따라서 도 선형.

(2) 방정식의 양 변을 로 나누어 표준형태로 바꾸어주면 가 된다.

      이 때 , 가 에 대한 식이므로 는 선형이 되고

      따라서 도 선형.

(3) 방정식의 양 변을 로 나누어 표준형태로 바꾸어주면 가 된다.

      이 때 항이 존재하므로 선형이 아니다(≡비선형)