3. 1계상미분방정식의 풀이 (3)

* 완전상미분방정식의 정의

  - 완전상미분방정식의 정의 : 1계상미분방정식 이

   어떤 함수 에 대하여 의 꼴을 만족할 때

   는 완전하다고 하며, 미분방정식 는 완전미분방정식이라 한다.

  -쉽게 판별하는 법 : 에서 라면 주어진 식은 완전하다.

Ex1. 1계상미분방정식 은 완전상미분방정식인가?

Sol. 에서

       이고이므로

       이 성립한다. 따라서 1계상미분방정식 은 완전상미분방정식이다.

* 완전상미분방정식()인 1계상미분방정식의 풀이

  - 해법 : 인 함수 를 정의하면 다음 두 식이 성립한다.

            , 

            를 에 대해 적분하면

            

             (가)를 에 대해 미분하면 이다.

             (나)를 잘 정리하여 를 구한 후  를 구하면 를 이용해 해를 구할 수 있다.

             (반대로 를 에 대해 적분하는 쪽으로도 풀 수 있다.)

Ex2. 1계상미분방정식 의 일반해를 구하여라.

Sol. Ex1. 에서 가 완전상미분방정식임을 증명했으므로 위의 풀이를 사용할 수 있다.

         공식에서 

          (a)를 에 대해 적분하면

         

          (가)의 좌우항의 위치를 바꾸어 에 대해 미분하면 

          

          일반해는